Inversão de Matrizes

Questões:

 
04. Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem, resolver a equação matricial A.X.A^t = B.
 
 
05. Seja Q uma matriz 4 x 4 tal que det Q = 0 e Q³ + 2Q² = 0. Calcule det Q.
 
 
06. Demonstrar que (AB)^-1 = B^-1 . A^-1, desde que as matrizes A e B sejam inversíveis e de mesma ordem.
 

 
08. (PUC) Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem e X uma matriz tal que (X . A)^t = B, então:

a) X = A^-1 . B^t

b) X = B^t . A^-1

c) X = (B . A)^t

d) X = (AB)^t

e) X = A^t . B^-1

 
09. No que se refere à solução da equação A . X = B em que A e B são matrizes quadradas de ordem 3, pode-se dizer que:
 
a) a equação não pode ter solução;  

b) a equação nunca tem solução; 

c) a equação tem sempre uma solução que é X = B ;

                                                                        A 

d) a equação tem sempre uma solução que é X = B . A^-1

e) a equação tem sempre uma solução que é X = A^-1 . B.

 
10. (ITA) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 2 que satisfazem a seguinte propriedade: existe uma matriz M inversível tal que A = M^-1 BM. Então:
 
a)  det (-A^t) = det B
b) det A = -det B
c) det (2A) = 2 det B
d) Se det B ¹ 0, então det (-AB) < 0
e) det (A - I) = -det (I - B)


Resolução:

01. a = -1

02. a = 2

03. a = 15

04. V = {A^-1 . B . (A^t)^-1}

05. det Q = 16

06. Lembrando que AB = I  Þ A^-1 = B e que a multiplicação de matrizes é associativa, temos:

               (AB) . (B^-1 . A^-1) = A . (B . B^-1) . A^-1 = A . I . A^-1 = A . A^-1 = I

               Se (AB) . (B^-1 . A^-1) = I, então (AB)^-1 = B^-1 . A^-1

07. R = -1

08. B

09. A

10. A